正弦稳态、相量、阻抗与交流功率

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1. 正弦稳态是什么？

正弦激励：

$$ u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi) $$

其中：

频率关系：

$$ \omega=2\pi f $$

2. 为什么要用相量法？

电容、电感在时域里有微分：

$$ i_C=C\frac{du_C}{dt} $$

$$ u_L=L\frac{di_L}{dt} $$

相量法的意义：

把正弦函数变成复数，把微分方程变成代数方程。

正弦量：

$$ u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi) $$

可表示为相量：

$$ \dot U=U\angle \varphi $$

通常 $U$ 取 有效值 RMS：

$$ U=\frac{U_m}{\sqrt{2}} $$

3. 阻抗：交流版“电阻”

直流欧姆定律：

$$ U=RI $$

交流相量形式：

$$ \dot U=Z\dot I $$

$Z$ 称为阻抗。

这里 $j$ 是虚数单位。

4. 相位关系

4.1 电阻

电阻电压和电流同相。

$$ Z_R=R $$

4.2 电感

$$ Z_L=j\omega L $$

电感中：

电压超前电流 $90^\circ$。

口诀：感抗中，电流慢半拍。

4.3 电容

$$ Z_C=\frac{1}{j\omega C} $$

电容中：

电流超前电压 $90^\circ$。

口诀：容抗中，电压慢半拍。

5. 感抗与容抗

电感阻抗大小：

$$ X_L=\omega L $$

电容阻抗大小：

$$ X_C=\frac{1}{\omega C} $$

频率影响：

6. 交流电路分析方法

在正弦稳态中：

一句话：

正弦稳态电路 = 用复数阻抗重新做一遍直流电路分析。

7. 串联 RC 例子

已知：

$$ R=10\Omega,\quad C=100\mu F,\quad f=50Hz $$

角频率：

$$ \omega=2\pi f=100\pi $$

电容阻抗：

$$ Z_C=\frac{1}{j\omega C} $$

代入：

$$ Z_C\approx -j31.8\Omega $$

总阻抗：

$$ Z=R+Z_C=10-j31.8 $$

如果电源有效值：

$$ \dot U=10\angle 0^\circ V $$

电流：

$$ \dot I=\frac{\dot U}{Z}=\frac{10}{10-j31.8} $$

这就是相量法的标准操作。

8. 交流功率

交流电路中，电压和电流可能有相位差，因此功率分为：

复功率：

$$ S=P+jQ $$

视在功率：

$$ |S|=UI $$

有功功率：

$$ P=UI\cos\varphi $$

无功功率：

$$ Q=UI\sin\varphi $$

功率因数：

$$ \cos\varphi $$

9. R/L/C 的功率特性

10. 记忆总结

电路/交流 #电路/相量 #电路/阻抗