一阶动态电路 RC/RL

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1. 什么是动态电路？

含有电容 $C$ 或电感 $L$ 的电路，在开关动作或输入变化后，通常不会瞬间到达新稳态，而是经历一个过渡过程。

原因：

• 电容电压不能突变；
• 电感电流不能突变。

$$ u_C(0^+)=u_C(0^-) $$

$$ i_L(0^+)=i_L(0^-) $$

其中：

• $0^-$：变化前一瞬间；
• $0^+$：变化后一瞬间。

2. 直流稳态等效

这个结论常用于求：

• 初始值 $f(0^-)$；
• 稳态终值 $f(\infty)$。

3. 时间常数

3.1 RC 电路

$$ \tau=RC $$

3.2 RL 电路

$$ \tau=\frac{L}{R} $$

其中 $R$ 通常是电容或电感“看进去”的等效电阻。

典型变化程度：

4. 一阶电路三要素法

所有一阶 RC/RL 电路的核心形式：

$$ f(t)=f(\infty)+[f(0^+)-f(\infty)]e^{-t/\tau} $$

三要素：

常见选择：

• RC 电路：通常令 $f(t)=u_C(t)$；
• RL 电路：通常令 $f(t)=i_L(t)$。

5. RC 充电

电源 $U$ 通过电阻 $R$ 给电容 $C$ 充电，初始电容电压为 0。

终值：

$$ u_C(\infty)=U $$

初值：

$$ u_C(0^+)=0 $$

时间常数：

$$ \tau=RC $$

因此：

$$ u_C(t)=U(1-e^{-t/RC}) $$

电流：

$$ i_C(t)=\frac{U}{R}e^{-t/RC} $$

特点：

• 刚开始，电容像短路，电流最大；
• 逐渐充电，电容电压升高；
• 稳态后，电容像开路，电流趋近 0。

6. RC 放电

电容初始电压为 $U_0$，通过电阻 $R$ 放电。

$$ u_C(t)=U_0e^{-t/RC} $$

电压逐渐下降到 0。

7. RL 上电

电源 $U$ 通过 $R$ 和 $L$ 串联。

初值：

$$ i_L(0^+)=0 $$

终值：

$$ i_L(\infty)=\frac{U}{R} $$

时间常数：

$$ \tau=\frac{L}{R} $$

因此：

$$ i_L(t)=\frac{U}{R}(1-e^{-tR/L}) $$

特点：

• 刚开始，电感阻止电流突变，电流为 0；
• 之后电流逐渐上升；
• 稳态后，电感近似短路。

8. 做题步骤

flowchart TD
    A[一阶动态题] --> B[确定目标变量 f(t)]
    B --> C[求开关前稳态 f(0-)]
    C --> D[利用连续性得到 f(0+)]
    D --> E[求开关后稳态 f(infty)]
    E --> F[求时间常数 tau]
    F --> G[代入三要素公式]

9. 求时间常数时的注意点

求 $\tau$ 时，经常要从电容或电感端口看进去求等效电阻。

一般步骤：

1. 看的是开关动作后的电路；
2. 独立源置零：电压源短路，电流源开路；
3. 从电容/电感端口看进去求 $R_{eq}$；
4. RC 用 $\tau=R_{eq}C$；
5. RL 用 $\tau=\frac{L}{R_{eq}}$。

10. 常见错误

电路/动态电路 #电路/RC #电路/RL