常用电路定理

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这一节的核心目的：

把复杂电路变简单。

常用定理：

1. 叠加定理
2. 戴维南定理
3. 诺顿定理
4. 最大功率传输定理

0. 使用前提：线性电路

这些定理主要用于 线性电路。

线性电路通常由：

• 电阻；
• 线性电容、电感；
• 独立电压源、电流源；
• 线性受控源；

组成。

普通二极管、三极管大信号、MOS 管大信号模型通常不能直接套用，需要先线性化。

1. 叠加定理

1.1 核心思想

多个独立源共同作用时，某个 电压或电流 等于各独立源单独作用时结果的代数和。

$$ x=x_1+x_2+\cdots+x_n $$

其中 $x$ 可以是某个电压或电流。

1.2 其他独立源怎么处理？

原因：

• 电压源置零：$u=0$，相当于短路；
• 电流源置零：$i=0$，相当于开路。

1.3 为什么功率不能直接叠加？

因为功率不是线性量：

$$ p=i^2R $$

如果 $i=i_1+i_2$，则：

$$ p=(i_1+i_2)^2R $$

会出现交叉项，所以不能把各源单独作用的功率直接相加。

2. 戴维南定理 Thevenin Theorem

2.1 核心思想

任意线性有源二端网络，对外可以等效为：

一个电压源 $V_{th}$ 串联一个电阻 $R_{th}$。

复杂二端网络  ≈  Vth 串联 Rth

2.2 二端网络

从外部看，只有两个端口的电路：

      ┌────────────┐
a ────┤            ├──── b
      │ 复杂电路    │
      └────────────┘

2.3 求戴维南等效的标准步骤

1. 断开负载；
2. 求端口开路电压：

$$ V_{th}=U_{oc} $$

1. 将独立源置零；
2. 从端口看进去求等效电阻：

$$ R_{th}=R_{in} $$

1. 画出 $V_{th}$ 串联 $R_{th}$ 的等效电路；
2. 接回负载求目标量。

2.4 经典例子

       12V
        │
       [3Ω]
        │
        ● a
        │
       [6Ω]
        │
        b
        │
       ⏚

以 $a,b$ 为端口。

开路电压：

$$ V_{th}=12\cdot \frac{6}{3+6}=8V $$

求 $R_{th}$：把 12V 电压源短路，则 $3\Omega$ 和 $6\Omega$ 并联：

$$ R_{th}=3\parallel 6=\frac{3\times 6}{3+6}=2\Omega $$

所以等效为：

$$ V_{th}=8V,\quad R_{th}=2\Omega $$

3. 诺顿定理 Norton Theorem

3.1 核心思想

任意线性有源二端网络，对外可以等效为：

一个电流源 $I_N$ 并联一个电阻 $R_N$。

复杂二端网络  ≈  IN 并联 RN

3.2 和戴维南的关系

$$ R_N=R_{th} $$

$$ I_N=\frac{V_{th}}{R_{th}} $$

$$ V_{th}=I_NR_N $$

3.3 例子

如果：

$$ V_{th}=8V,\quad R_{th}=2\Omega $$

则：

$$ I_N=\frac{8}{2}=4A $$

所以诺顿等效为：

$$ I_N=4A,\quad R_N=2\Omega $$

4. 源变换

戴维南和诺顿可以互相转换：

flowchart LR
    A[电压源 V 串联 R] <--> B[电流源 I=V/R 并联 R]

公式：

$$ I=\frac{V}{R} $$

$$ V=IR $$

5. 最大功率传输定理

5.1 问题

戴维南等效电路接负载 $R_L$：

Vth ── Rth ── RL

负载功率：

$$ P_L=\left(\frac{V_{th}}{R_{th}+R_L}\right)^2R_L $$

当：

$$ R_L=R_{th} $$

负载获得最大功率。

最大功率：

$$ P_{max}=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}} $$

5.2 重要理解

6. 四个定理的关系

7. 做题流程：负载类问题

flowchart TD
    A[遇到复杂电路接负载] --> B[断开负载]
    B --> C[求开路电压 Vth]
    C --> D[独立源置零]
    D --> E[从端口看进去求 Rth]
    E --> F[画戴维南等效]
    F --> G[接回负载]
    G --> H[求电流/电压/功率]

8. 高频错误

电路/定理 #电路/戴维南 #电路/等效