轨迹规划入门

1. 为什么有了正逆运动学还不够

正运动学和逆运动学只解决：

• 末端现在在哪
• 目标应该对应什么关节配置

但没有解决：

从当前状态到目标状态，中间应该怎样运动才平滑、安全、可执行。

真实机器人受以下因素约束：

• 速度限制
• 加速度限制
• 力矩限制
• 振动/冲击
• 障碍物
• 跟踪误差

所以轨迹规划是必不可少的一层。

2. 路径 与 轨迹 的区别

路径（Path）

只描述几何曲线，不含时间。

轨迹（Trajectory）

描述随时间变化的运动过程，例如：

$$ q(t),\ \dot q(t),\ \ddot q(t) $$

或

$$ x(t),\ \dot x(t),\ \ddot x(t) $$

一句话：

• 路径：走哪条路
• 轨迹：什么时候走到哪里

3. 轨迹规划的两个主要空间

关节空间轨迹规划

直接规划：

$$ q(t) $$

优点：

• 简单
• 直接适配控制器
• 不必沿途不断求逆运动学

缺点：

• 末端路径不一定直观
• 末端不一定走直线

笛卡尔空间轨迹规划

先规划末端位姿：

$$ x(t) $$

再通过 IK 或微分 IK 转成关节轨迹。

优点：

• 末端路径更容易控制
• 适合抓取、装配、焊接等任务

缺点：

• 计算更复杂
• 途中可能遇到 IK 无解或奇异

4. 最基础的关节空间轨迹规划

若只需从起点到终点，可以用多项式轨迹。

三次多项式

$$ q(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3 $$

适合已知：

• 起止位置
• 起止速度

五次多项式

$$ q(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3+a_4 t^4+a_5 t^5 $$

适合已知：

• 起止位置
• 起止速度
• 起止加速度

五次多项式更平滑，因此工程里更常用。

5. 为什么平滑性重要

如果轨迹只有位置连续，但速度不连续，会导致加速度突变； 如果加速度不连续，则 jerk 会很大，机器人会抖动、冲击大、磨损重。

因此工程中通常至少希望：

• 位置连续
• 速度连续
• 加速度连续

6. 轨迹规划和控制的关系

轨迹规划输出的是参考轨迹：

$$ q_d(t),\ \dot q_d(t),\ \ddot q_d(t) $$

控制器负责让实际系统尽量跟踪它。

所以：

• 规划：决定“理想怎么动”
• 控制：保证“实际尽量按它动”

7. 轨迹规划在整体系统中的位置

一个典型机械臂执行流程可以理解成：

1. 感知目标
2. 坐标变换
3. 逆运动学求目标关节配置
4. 轨迹规划生成平滑运动过程
5. 控制器跟踪执行

8. 当前应掌握的关键理解

• IK 解决终点，轨迹规划解决全过程
• 路径不含时间，轨迹含时间
• 可以在关节空间规划，也可以在任务空间规划
• 合理轨迹必须满足物理约束和平滑性要求