正运动学与 DH 参数

1. 正运动学是什么

正运动学研究：

已知关节变量，求末端位姿。

写成映射：

$$ q \mapsto T(q) $$

其中：

• $q$：关节变量
• $T(q)$：末端相对基座的位姿

2. 平面二连杆正运动学

设：

• 连杆长度：$l_1, l_2$
• 关节角：$q_1, q_2$

则末端位置：

$$ x = l_1\cos q_1 + l_2\cos(q_1+q_2) $$

$$ y = l_1\sin q_1 + l_2\sin(q_1+q_2) $$

末端姿态角：

$$ \phi = q_1 + q_2 $$

理解

• 位置：是各段连杆在全局坐标系下的向量和
• 姿态：是各关节角的累计

3. 一般平面串联机械臂的正运动学

对平面 $n$ 连杆转动机构：

$$ \phi = \sum_{i=1}^{n} q_i $$

$$ x = \sum_{i=1}^{n} l_i \cos\left(\sum_{k=1}^{i} q_k\right) $$

$$ y = \sum_{i=1}^{n} l_i \sin\left(\sum_{k=1}^{i} q_k\right) $$

4. 正运动学的统一写法

对串联机械臂，最标准的形式是相邻坐标系变换连乘：

$$ {}^0T_n = {}^0T_1\,{}^1T_2\cdots{}^{n-1}T_n $$

这就是为什么齐次变换矩阵如此重要。

5. 为什么需要 DH 参数

二维小机构还可以看图直接写矩阵；但到三维机械臂时：

• 关节轴不一定平行
• 连杆之间可能存在扭转
• 局部坐标系不好凭感觉定义

所以需要一种标准化方法描述相邻坐标系关系，这就是 DH 参数法。

6. DH 四参数

经典 DH 参数为：

$$ \theta_i,\ d_i,\ a_i,\ \alpha_i $$

含义：

• $\theta_i$：绕 $z_{i-1}$ 的转角
• $d_i$：沿 $z_{i-1}$ 的位移
• $a_i$：沿 $x_i$ 的位移（连杆长度）
• $\alpha_i$：绕 $x_i$ 的转角（连杆扭角）

7. 经典 DH 单节变换

$$ {}^{i-1}T_i = \mathrm{Rot}_z(\theta_i)\,\mathrm{Trans}_z(d_i)\,\mathrm{Trans}_x(a_i)\,\mathrm{Rot}_x(\alpha_i) $$

对应矩阵：

$$ {}^{i-1}T_i= \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i\cos\alpha_i & \sin\theta_i\sin\alpha_i & a_i\cos\theta_i \ \sin\theta_i & \cos\theta_i\cos\alpha_i & -\cos\theta_i\sin\alpha_i & a_i\sin\theta_i \ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

8. R 关节和 P 关节

转动关节 R

变量通常是：

$$ \theta_i $$

移动关节 P

变量通常是：

$$ d_i $$

因此 DH 表里哪一列是变量，直接决定关节类型。

9. DH 建系核心规则

规则 1：关节轴定义 $z$

第 $i$ 个关节轴定义为 $z_{i-1}$。

规则 2：相邻 $z$ 轴的公共法线定义 $x$

$x_i$ 轴沿 $z_{i-1}$ 和 $z_i$ 的公共法线方向。

这两条是 DH 的核心。

10. 平面二连杆的 DH 表

若两关节都是转动关节，且所有转轴都平行，则：

因为平面二连杆中：

• 没有轴间扭转：$\alpha_i = 0$
• 没有沿 $z$ 偏移：$d_i = 0$

11. 这一部分的关键理解

• 正运动学是从关节空间到末端空间的映射
• 齐次变换连乘是正运动学的统一语言
• DH 参数不是额外负担，而是把三维机械臂建模标准化的方法